在實際問題中經(jīng)常要遇到三元以上函數(shù)的極值問題，對此除了微積分中的方法之外，本文中將介紹如何用二次型的正定性計算多元函數(shù)極值。
一、 基本概念
定義1 設n元函數(shù) 在 的某個鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導數(shù)，記 ， 稱為函數(shù)f(x)在點 處的梯度。
定義2 滿足 的點 稱為函數(shù) 的駐點。
定義3
稱為函數(shù) 在點 處的海塞矩陣。顯然 是由 的 個二階偏導數(shù)構成的階實對稱矩陣。
二、 相關定理
定理1 (極值存在的必要條件)
設函數(shù) 在 處存在一階偏導數(shù)，且 為該函數(shù)的極值點，則 。
定理2(極值存在的充分條件)
設函數(shù) 在 的某個鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導數(shù)，且 ，則
(1)當 為正定矩陣時， 為 的極小值;
(2)當 為負定矩陣時， 為 的極大值;
(3)當 為不定矩陣時， 不是 的極值。
三、 例題講解
例 求三元函數(shù) 的極值。
解：先求駐點，由 得
所以 駐點
再求海塞矩陣
因為
所以 ，可知 是正定的，
所以 在點 取得極小值： 。
備注：利用二次型的正定性來判斷多元函數(shù)的極值雖然是一個很好的方法，但有一定的局限性，因為充分條件對正定和負定的要求是很嚴格的，若條件不滿足，那結論就不一定成立。
基礎部： 韓云娜 |
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