Pythagoras of Samos(畢達(dá)哥拉斯，約公元前560-前500)是古希臘的著名哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，大約在公元前525年，創(chuàng)立了一個(gè)宗教式的組織，就是今天稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的社團(tuán)，致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)研究。該學(xué)派通過(guò)對(duì)客觀世界的周密觀察，發(fā)現(xiàn)許多自然現(xiàn)象都依賴(lài)于數(shù)，提出了“萬(wàn)物皆數(shù)”說(shuō)。他們所說(shuō)的數(shù)僅指整數(shù)，分?jǐn)?shù)被看成是兩個(gè)整數(shù)之比。他們通過(guò)揭示數(shù)的奧秘來(lái)認(rèn)識(shí)自然現(xiàn)象，探索宇宙的規(guī)律。例如，用數(shù)的理論來(lái)解釋運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)音樂(lè)定律等。該學(xué)派曾通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，兩條質(zhì)地相同水平放置繃緊的弦，若它們長(zhǎng)度成小整數(shù)比時(shí)，發(fā)音就和諧悅耳，如2:3(稱(chēng)為五度和音)、3:4(稱(chēng)為四度和音)。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還提出了線段的“可公度性”：即對(duì)任何兩條給定的線段，總能找到某第三條線段，使得給定的兩條線段的長(zhǎng)度都是該線段的整數(shù)倍，就是說(shuō)：該線段是給定兩線段的公共度量單位。由此可知，任何兩條線段的比都是整數(shù)的比，也就是有理數(shù)。
然而，正是該學(xué)派(據(jù)說(shuō)是該學(xué)派的成員Hippasus(希帕蘇斯))首先發(fā)現(xiàn)了不可公度線段的存在，例如，正方形的對(duì)角線與其一邊就構(gòu)成了不可公度線段。事實(shí)上，由勾股定理可以證明它們的長(zhǎng)度之比為 ，不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)(據(jù)說(shuō)，證明也是由該學(xué)派完成)。這一發(fā)現(xiàn)，是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的核心思想“萬(wàn)物皆依賴(lài)于整數(shù)”的致命打擊，在該學(xué)派內(nèi)引起了極大的震動(dòng)，也深深地困惑著當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家。既然 不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比，那么它究竟怎樣依賴(lài)于整數(shù)呢? 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于比例和相似形的理論都是建立在“萬(wàn)物皆數(shù)”說(shuō)的基礎(chǔ)上的，現(xiàn)在這個(gè)基礎(chǔ)收到了挑戰(zhàn)，發(fā)生了動(dòng)搖，使得古希臘數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)產(chǎn)生了嚴(yán)重危機(jī)，從而爆發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。大約在一個(gè)世紀(jì)后，即公元前370年，這一危機(jī)才由該派的成員Archytas(阿爾希塔斯)的學(xué)生Eudoxus(歐多克索斯)提出的新比例理論巧妙地避開(kāi)了量的“可公度”概念而暫時(shí)消除了。但是，從理論上徹底克服這一危機(jī)還有待于19世紀(jì)后半葉實(shí)數(shù)理論的建立。 |
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